f(m,n)=��[1≦k≦n]k^mに関する考察

f(0,n)=n
f(1,n)=n(n+1)/2
f(2,n)=n(n+1)(2n+1)/6
f(3,n)=n(n+1)(n^2+n)/4=(n^2)((n+1)^2)/4
f(4,n)=n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)/30=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
f(5,n)=n(n+1)(2n^4+4n^3+n^2-n)/12=(n^2)((n+1)^2)(2n^2+2n-1)/12
f(6,n)=n(n+1)(6n^5+15n^4+6n^3-6n^2-n+1)/42=n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)/42
f(7,n)=n(n+1)(3n^6+9n^5+5n^4-5n^3-2n^2+2n)/24=(n^2)((n+1)^2)(3n^4+6n^3-n^2-4n+2)/24
f(8,n)=n(n+1)(10n^7+35n^6+25n^5-25n^4-17n^3+17n^2+3n-3)/90=n(n+1)(2n+1)(5n^6+15n^5+5n^4-15n^3-n^2+9n-3)/90
これ以下はまだ計算してません。ネットを探せばあるのかな・・・？とりあえずいくつか読み取れること。m≧2で議論します。

• f(m,n)はnに関するm+1次の整式である
• mが奇数の時は=(n^2)((n+1)^2)でくくれ、mが偶数の時はn(n+1)(2n+1)でくくれる
• 任意のmに対して、f(m,n)をn(n+1)で割ると、その商の最高次数の係数は1/(m+1)になり、次の次数の係数は(m-1)/2(m+1)、その後はずっと絶対値の同じ正の数と負の数が２個ペアで並ぶ
  • 商の符号は「＋→＋」のあと「＋→−→−→＋」の繰り返しになっているっぽい（これを確認するのはあといくつか計算が必要。まだ確信はない）
  • 式を展開して考えると、f(n,m)の最高次数の係数は1/(m+1)で、次の次数の係数は1/2である。またmが偶数ならば偶数次の項、mが奇数ならば奇数次の項がm次よりも低い次数では現れない

１番目は高校の時から知っていたし、２番目はこの前英語１の授業中にm=5くらいまで計算した時に気付いたのですが、３番目は今回新しく発見したことです（商の最高次の係数が1/(m+1)というのは知っていましたが）。今回発見したことについては、なぜそうなるのか見当もつきません。展開したときにm次の係数が1/2になるなんて、不自然に綺麗な形です。しかもm-2次,m-4次,…は出てこないし。